64. Minimum Path Sum(M)

https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right, which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

Example 1:

Input: grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
Output: 7
Explanation: Because the path 1 → 3 → 1 → 1 → 1 minimizes the sum.

Example 2:

Input: grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
Output: 12

Constraints:

• m == grid.length

• n == grid[i].length

• 1 <= m, n <= 200

• 0 <= grid[i][j] <= 100

Solution:

其实这道题难度不算大，但我们刷题群里很多朋友讨论，而且这个问题还有一些难度比较大的变体，所以讲一下这种问题的通用思路。

一般来说，让你在二维矩阵中求最优化问题（最大值或者最小值），肯定需要递归 + 备忘录，也就是动态规划技巧。

就拿题目举的例子来说，我给图中的几个格子编个号方便描述：

我们想计算从起点 D 到达 B 的最小路径和，那你说怎么才能到达 B 呢？

题目说了只能向右或者向下走，所以只有从 A 或者 C 走到 B。

那么算法怎么知道从 A 走到 B 才能使路径和最小，而不是从 C 走到 B 呢？

难道是因为位置 A 的元素大小是 1，位置 C 的元素是 2，1 小于 2，所以一定要从 A 走到 B 才能使路径和最小吗？

其实不是的，真正的原因是，从 D 走到 A 的最小路径和是 6，而从 D 走到 C 的最小路径和是 8，6 小于 8，所以一定要从 A 走到 B 才能使路径和最小。

换句话说，我们把「从 D 走到 B 的最小路径和」这个问题转化成了「从 D 走到 A 的最小路径和」和 「从 D 走到 C 的最小路径和」这两个问题。

理解了上面的分析，这不就是状态转移方程吗？所以这个问题肯定会用到动态规划技巧来解决。

比如我们定义如下一个 dp 函数：

int dp(int[][] grid, int i, int j);

这个 dp 函数的定义如下：

从左上角位置 (0, 0) 走到位置 (i, j) 的最小路径和为 dp(grid, i, j)。

根据这个定义，我们想求的最小路径和就可以通过调用这个 dp 函数计算出来：

int minPathSum(int[][] grid) {
    int m = grid.length;
    int n = grid[0].length;
    // 计算从左上角走到右下角的最小路径和
    return dp(grid, m - 1, n - 1);
}

再根据刚才的分析，很容易发现，dp(grid, i, j) 的值取决于 dp(grid, i - 1, j) 和 dp(grid, i, j - 1) 返回的值。

我们可以直接写代码了：

int dp(int[][] grid, int i, int j) {
    // base case
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    // 如果索引出界，返回一个很大的值，
    // 保证在取 min 的时候不会被取到
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Integer.MAX_VALUE;
    }

    // 左边和上面的最小路径和加上 grid[i][j]
    // 就是到达 (i, j) 的最小路径和
    return Math.min(
            dp(grid, i - 1, j), 
            dp(grid, i, j - 1)
        ) + grid[i][j];
}

上述代码逻辑已经完整了，接下来就分析一下，这个递归算法是否存在重叠子问题？是否需要用备忘录优化一下执行效率？

前文多次说过判断重叠子问题的技巧，首先抽象出上述代码的递归框架：

int dp(int i, int j) {
    dp(i - 1, j); // #1
    dp(i, j - 1); // #2
}

如果我想从 dp(i, j) 递归到 dp(i-1, j-1)，有几种不同的递归调用路径？

可以是 dp(i, j) -> #1 -> #2 或者 dp(i, j) -> #2 -> #1，不止一种，说明 dp(i-1, j-1) 会被多次计算，所以一定存在重叠子问题。

那么我们可以使用备忘录技巧进行优化：

int[][] memo;

int minPathSum(int[][] grid) {
    int m = grid.length;
    int n = grid[0].length;
    // 构造备忘录，初始值全部设为 -1
    memo = new int[m][n];
    for (int[] row : memo)
        Arrays.fill(row, -1);
    
    return dp(grid, m - 1, n - 1);
}

int dp(int[][] grid, int i, int j) {
    // base case
    if (i == 0 && j == 0) {
        return grid[0][0];
    }
    if (i < 0 || j < 0) {
        return Integer.MAX_VALUE;
    }
    // 避免重复计算
    if (memo[i][j] != -1) {
        return memo[i][j];
    }
    // 将计算结果记入备忘录
    memo[i][j] = Math.min(
        dp(grid, i - 1, j),
        dp(grid, i, j - 1)
    ) + grid[i][j];

    return memo[i][j];
}

至此，本题就算是解决了，时间复杂度和空间复杂度都是 O(MN)，标准的自顶向下动态规划解法。

有的读者可能问，能不能用自底向上的迭代解法来做这道题呢？完全可以的。

首先，类似刚才的 dp 函数，我们需要一个二维 dp 数组，定义如下：

从左上角位置 (0, 0) 走到位置 (i, j) 的最小路径和为 dp[i][j]。

状态转移方程当然不会变的，dp[i][j] 依然取决于 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]，直接看代码吧：

int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];

        /**** base case ****/
        dp[0][0] = grid[0][0];

        for (int i = 1; i < m; i++)
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        
        for (int j = 1; j < n; j++)
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];        
        /*******************/
        
        // 状态转移
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(
                    dp[i - 1][j],
                    dp[i][j - 1]
                ) + grid[i][j];
            }
        }

        return dp[m - 1][n - 1];
    }

这个解法的 base case 看起来和递归解法略有不同，但实际上是一样的。

因为状态转移为下面这段代码：

dp[i][j] = Math.min(
    dp[i - 1][j],
    dp[i][j - 1]
) + grid[i][j];

那如果 i 或者 j 等于 0 的时候，就会出现索引越界的错误。

所以我们需要提前计算出 dp[0][..] 和 dp[..][0]，然后让 i 和 j 的值从 1 开始迭代。

dp[0][..] 和 dp[..][0] 的值怎么算呢？其实很简单，第一行和第一列的路径和只有下面这一种情况嘛：

那么按照 dp 数组的定义，dp[i][0] = sum(grid[0..i][0]), dp[0][j] = sum(grid[0][0..j])，也就是如下代码：

/**** base case ****/
dp[0][0] = grid[0][0];

for (int i = 1; i < m; i++)
    dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];

for (int j = 1; j < n; j++)
    dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];        
/*******************/

到这里，自底向上的迭代解法也搞定了，那有的读者可能又要问了，能不能优化一下算法的空间复杂度呢？

前文 动态规划的降维打击：空间压缩 说过降低 dp 数组的技巧，这里也是适用的，不过略微复杂些，本文由于篇幅所限就不写了，有兴趣的读者可以自己尝试一下。