48. Rotate Image (M)

https://leetcode.com/problems/rotate-image/

You are given an n x n 2D matrix representing an image, rotate the image by 90 degrees (clockwise).

You have to rotate the image in-place, which means you have to modify the input 2D matrix directly. DO NOT allocate another 2D matrix and do the rotation.

Example 1:

Input: matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
Output: [[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

Example 2:

Input: matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
Output: [[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

Constraints:

• n == matrix.length == matrix[i].length

• 1 <= n <= 20

• -1000 <= matrix[i][j] <= 1000

Solution:

题目很好理解，就是让你将一个二维矩阵顺时针旋转 90 度，难点在于要「原地」修改，函数签名如下：

void rotate(int[][] matrix)

如何「原地」旋转二维矩阵？稍想一下，感觉操作起来非常复杂，可能要设置巧妙的算法机制来「一圈一圈」旋转矩阵：

但实际上，这道题不能走寻常路，在讲巧妙解法之前，我们先看另一道谷歌曾经考过的算法题热热身：

给你一个包含若干单词和空格的字符串 s，请你写一个算法，原地反转所有单词的顺序。

比如说，给你输入这样一个字符串：

s = "hello world labuladong"

你的算法需要原地反转这个字符串中的单词顺序：

s = "labuladong world hello"

常规的方式是把 s 按空格 split 成若干单词，然后 reverse 这些单词的顺序，最后把这些单词 join 成句子。但这种方式使用了额外的空间，并不是「原地反转」单词。

正确的做法是，先将整个字符串 s 反转：

s = "gnodalubal dlrow olleh"

然后将每个单词分别反转：

s = "labuladong world hello"

这样，就实现了原地反转所有单词顺序的目的。

我讲这道题的目的是什么呢？

旨在说明，有时候咱们拍脑袋的常规思维，在计算机看来可能并不是最优雅的；但是计算机觉得最优雅的思维，对咱们来说却不那么直观。也许这就是算法的魅力所在吧。

回到之前说的顺时针旋转二维矩阵的问题，常规的思路就是去寻找原始坐标和旋转后坐标的映射规律，但我们是否可以让思维跳跃跳跃，尝试把矩阵进行反转、镜像对称等操作，可能会出现新的突破口。

我们可以先将 n x n 矩阵 matrix 按照左上到右下的对角线进行镜像对称：

然后再对矩阵的每一行进行反转：

发现结果就是 matrix 顺时针旋转 90 度的结果：

将上述思路翻译成代码，即可解决本题：

// 将二维矩阵原地顺时针旋转 90 度
public void rotate(int[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    // 先沿对角线镜像对称二维矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            // swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
            int temp = matrix[i][j];
            matrix[i][j] = matrix[j][i];
            matrix[j][i] = temp;
        }
    }
    // 然后反转二维矩阵的每一行
    for (int[] row : matrix) {
        reverse(row);
    }
}

// 反转一维数组
void reverse(int[] arr) {
    int i = 0, j = arr.length - 1;
    while (j > i) {
        // swap(arr[i], arr[j]);
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
        i++;
        j--;
    }
}

肯定有读者会问，如果没有做过这道题，怎么可能想到这种思路呢？

其实我觉得这个思路还是挺容易想出来的，如果学过线性代数，这道算法题的思路本质就是矩阵变换，肯定可以想出来。

即便没学过线性代数，旋转二维矩阵的难点在于将「行」变成「列」，将「列」变成「行」，而只有按照对角线的对称操作是可以轻松完成这一点的，对称操作之后就很容易发现规律了。

既然说道这里，我们可以发散一下，如何将矩阵逆时针旋转 90 度呢？

思路是类似的，只要通过另一条对角线镜像对称矩阵，然后再反转每一行，就得到了逆时针旋转矩阵的结果：

翻译成代码如下：

// 将二维矩阵原地逆时针旋转 90 度
void rotate2(int[][] matrix) {
    int n = matrix.length;
    // 沿左下到右上的对角线镜像对称二维矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n - i; j++) {
            // swap(matrix[i][j], matrix[n-j-1][n-i-1])
            int temp = matrix[i][j];
            matrix[i][j] = matrix[n - j - 1][n - i - 1];
            matrix[n - j - 1][n - i - 1] = temp;
        }
    }
    // 然后反转二维矩阵的每一行
    for (int[] row : matrix) {
        reverse(row);
    }
}

void reverse(int[] arr) { /* 见上文 */}

至此，旋转矩阵的问题就解决了。