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# 二叉堆 Binary Heap
二叉堆（Binary Heap）没什么神秘，性质比二叉搜索树 BST 还简单。其主要操作就两个，`sink`（下沉）和 `swim`（上浮），用以维护二叉堆的性质。其主要应用有两个，首先是一种排序方法「堆排序」，第二是一种很有用的数据结构「优先级队列」。
本文就以实现优先级队列（Priority Queue）为例，来讲讲一下二叉堆怎么运作的。
#### 一、二叉堆概览
首先，二叉堆和二叉树有啥关系呢，为什么人们总是把二叉堆画成一棵二叉树？
因为，二叉堆在逻辑上其实是一种特殊的二叉树（完全二叉树），只不过存储在数组里。一般的链表二叉树，我们操作节点的指针，而在数组里，我们把数组索引作为指针：
```java
// 父节点的索引
int parent(int root) {
return root / 2;
}
// 左孩子的索引
int left(int root) {
return root * 2;
}
// 右孩子的索引
int right(int root) {
return root * 2 + 1;
}
```
画个图你立即就能理解了，比如 `arr` 是一个字符数组，注意数组的第一个索引 0 空着不用：
[](https://labuladong.github.io/algo/images/heap/1.png)
你看到了，因为这棵二叉树是「完全二叉树」，所以把 `arr[1]` 作为整棵树的根的话，每个节点的父节点和左右孩子的索引都可以通过简单的运算得到，这就是二叉堆设计的一个巧妙之处。
为了方便讲解，下面都会画的图都是二叉树结构，相信你能把树和数组对应起来。
二叉堆还分为最大堆和最小堆。**最大堆的性质是：每个节点都大于等于它的两个子节点**。类似的，最小堆的性质是：每个节点都小于等于它的子节点。
两种堆核心思路都是一样的，本文以最大堆为例讲解。
对于一个最大堆，根据其性质，显然堆顶，也就是 `arr[1]` 一定是所有元素中最大的元素。
#### 二、优先级队列概览
优先级队列这种数据结构有一个很有用的功能，你插入或者删除元素的时候，元素会自动排序，这底层的原理就是二叉堆的操作。
数据结构的功能无非增删查该，优先级队列有两个主要 API，分别是 `insert` 插入一个元素和 `delMax` 删除最大元素（如果底层用最小堆，那么就是 `delMin`）。
下面我们实现一个简化的优先级队列，先看下代码框架：
> PS：这里用到 Java 的泛型，`Key` 可以是任何一种可比较大小的数据类型，比如 Integer 等类型。
```java
public class MaxPQ
> {
// 存储元素的数组
private Key[] pq;
// 当前 Priority Queue 中的元素个数
private int N = 0;
public MaxPQ(int cap) {
// 索引 0 不用，所以多分配一个空间
pq = (Key[]) new Comparable[cap + 1];
}
/* 返回当前队列中最大元素 */
public Key max() {
return pq[1];
}
/* 插入元素 e */
public void insert(Key e) {...}
/* 删除并返回当前队列中最大元素 */
public Key delMax() {...}
/* 上浮第 k 个元素，以维护最大堆性质 */
private void swim(int k) {...}
/* 下沉第 k 个元素，以维护最大堆性质 */
private void sink(int k) {...}
/* 交换数组的两个元素 */
private void exch(int i, int j) {
Key temp = pq[i];
pq[i] = pq[j];
pq[j] = temp;
}
/* pq[i] 是否比 pq[j] 小？ */
private boolean less(int i, int j) {
return pq[i].compareTo(pq[j]) < 0;
}
/* 还有 left, right, parent 三个方法 */
}
```
空出来的四个方法是二叉堆和优先级队列的奥妙所在，下面用图文来逐个理解。
#### 三、实现 swim 和 sink
为什么要有上浮 `swim` 和下沉 `sink` 的操作呢？为了维护堆结构。
我们要讲的是最大堆，每个节点都比它的两个子节点大，但是在插入元素和删除元素时，难免破坏堆的性质，这就需要通过这两个操作来恢复堆的性质了。
对于最大堆，会破坏堆性质的有两种情况：
1. 如果某个节点 A 比它的子节点（中的一个）小，那么 A 就不配做父节点，应该下去，下面那个更大的节点上来做父节点，这就是对 A 进行**下沉**。
2. 如果某个节点 A 比它的父节点大，那么 A 不应该做子节点，应该把父节点换下来，自己去做父节点，这就是对 A 的**上浮**。
当然，错位的节点 A 可能要上浮（或下沉）很多次，才能到达正确的位置，恢复堆的性质。所以代码中肯定有一个 `while` 循环。
细心的读者也许会问，这两个操作不是互逆吗，所以上浮的操作一定能用下沉来完成，为什么我还要费劲写两个方法？
是的，操作是互逆等价的，但是最终我们的操作只会在堆底和堆顶进行（等会讲原因），显然堆底的「错位」元素需要上浮，堆顶的「错位」元素需要下沉。
**上浮的代码实现：**
```java
private void swim(int k) {
// 如果浮到堆顶，就不能再上浮了
while (k > 1 && less(parent(k), k)) {
// 如果第 k 个元素比上层大
// 将 k 换上去
exch(parent(k), k);
k = parent(k);
}
}
```
画个 GIF 看一眼就明白了：
[](https://labuladong.github.io/algo/images/heap/swim.gif)
**下沉的代码实现：**
下沉比上浮略微复杂一点，因为上浮某个节点 A，只需要 A 和其父节点比较大小即可；但是下沉某个节点 A，需要 A 和其**两个子节点**比较大小，如果 A 不是最大的就需要调整位置，要把较大的那个子节点和 A 交换。
```java
private void sink(int k) {
// 如果沉到堆底，就沉不下去了
while (left(k) <= N) {
// 先假设左边节点较大
int older = left(k);
// 如果右边节点存在，比一下大小
if (right(k) <= N && less(older, right(k)))
older = right(k);
// 结点 k 比俩孩子都大，就不必下沉了
if (less(older, k)) break;
// 否则，不符合最大堆的结构，下沉 k 结点
exch(k, older);
k = older;
}
}
```
画个 GIF 看下就明白了：
[](https://labuladong.github.io/algo/images/heap/sink.gif)
至此，二叉堆的主要操作就讲完了，一点都不难吧，代码加起来也就十行。明白了 `sink` 和 `swim` 的行为，下面就可以实现优先级队列了。
#### 四、实现 delMax 和 insert
这两个方法就是建立在 `swim` 和 `sink` 上的。
**`insert` 方法先把要插入的元素添加到堆底的最后，然后让其上浮到正确位置**。
[](https://labuladong.github.io/algo/images/heap/insert.gif)
```java
public void insert(Key e) {
N++;
// 先把新元素加到最后
pq[N] = e;
// 然后让它上浮到正确的位置
swim(N);
}
```
**`delMax` 方法先把堆顶元素 `A` 和堆底最后的元素 `B` 对调，然后删除 `A`，最后让 `B` 下沉到正确位置**。
```java
public Key delMax() {
// 最大堆的堆顶就是最大元素
Key max = pq[1];
// 把这个最大元素换到最后，删除之
exch(1, N);
pq[N] = null;
N--;
// 让 pq[1] 下沉到正确位置
sink(1);
return max;
}
```
[](https://labuladong.github.io/algo/images/heap/delete.gif)
至此，一个优先级队列就实现了，插入和删除元素的时间复杂度为 `O(logK)`，`K` 为当前二叉堆（优先级队列）中的元素总数。因为我们时间复杂度主要花费在 `sink` 或者 `swim` 上，而不管上浮还是下沉，最多也就树（堆）的高度，也就是 log 级别。
#### 五、最后总结
二叉堆就是一种完全二叉树，所以适合存储在数组中，而且二叉堆拥有一些特殊性质。
二叉堆的操作很简单，主要就是上浮和下沉，来维护堆的性质（堆有序），核心代码也就十行。
优先级队列是基于二叉堆实现的，主要操作是插入和删除。插入是先插到最后，然后上浮到正确位置；删除是调换位置后再删除，然后下沉到正确位置。核心代码也就十行。
也许这就是数据结构的威力，简单的操作就能实现巧妙的功能，真心佩服发明二叉堆算法的人！
#### **六.Heap Sort 原理**
堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出，将剩余的堆继续调整为最大堆，再次将堆顶的最大数取出，这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作：
* 最大堆调整（Max-Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
* 创建最大堆（Build-Max-Heap）：将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆
* 堆排序（Heap-Sort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算
最大堆调整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性质，是创建最大堆的核心子程序，
```
/**
* 从 index 开始检查并保持最大堆性质
*
* @array
*
* @index 检查的起始下标
*
* @heapSize 堆大小
*
**/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax = index,
iLeft = 2 * index + 1,
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
iMax = iLeft;
}
if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
maxHeapify(array, iMax, heapSize); // 递归调整
}
}
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
```
创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将**自下而上**的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆。
因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n，那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始，往上依次调用 Max-Heapify。流程如下：
```
public static void buildheap(int[] array)
{
size=array.length;
for(int i=array.length/2;i>=0;i--)
{
maxheap(array,i);
}
}
```
堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先调用Build-Max-Heap将数组改造为最大堆，然后将堆顶和堆底元素交换，之后将底部上升，最后重新调用Max-Heapify保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次之后，数组排列完毕。整个流程如下：
```
public static void heapsort(int[] a)
{
array=a;
buildheap(array);//first initial the tree
for(int i=size-1;i>=0;i--)
{
//swap(array[0],array[i]);
int temp;
temp=array[0];
array[0]=array[i];
array[i]=temp;
size=size-1; //size is the static member of class,so change once then every value in class will change
maxheap(array,0);//rebuild the heap of whole tree
}
}
```
```
public static void maxHeapify(int[] A,int fathernodeindex)//i is the index of father node
{
int left=fathernodeindex*2+1; //
int right=fathernodeindex*2+2;
int largest=fathernodeindex;
if(leftA[largest]){
largest=left;
}
if(rightA[largest]){
largest=right;
}
swap(A[fathernodeindex],A[largest]);
maxHeapify(A,largest);
}
public static void buildMaxHeap(int[] A){
for(int i=A.length/2;i>=0;i--){
maxHeapify(A,i);
}
}
public static void heapSort(int[] A){
if(A==null ||A.length==0){
return;
}
buildMaxHeap(A);
int len=A.length;
for(int i=A.length-1;i>=0;i--){
//swap(A[0],A[i]);
swap(A[0],A[i]);
len--;
maxHeapify(A,0);//rebuild the heap of whole tree
//wrong,need a attribute size
}
}
```