差分数组 Difference Array

https://labuladong.github.io/algo/2/20/54/

本文讲一个和前缀和思想非常类似的算法技巧「差分数组」，差分数组的主要适用场景是频繁对原始数组的某个区间的元素进行增减。

比如说，我给你输入一个数组 nums，然后又要求给区间 nums[2..6] 全部加 1，再给 nums[3..9] 全部减 3，再给 nums[0..4] 全部加 2，再给…

一通操作猛如虎，然后问你，最后 nums 数组的值是什么？

常规的思路很容易，你让我给区间 nums[i..j] 加上 val，那我就一个 for 循环给它们都加上呗，还能咋样？这种思路的时间复杂度是 O(N)，由于这个场景下对 nums 的修改非常频繁，所以效率会很低下。

这里就需要差分数组的技巧，类似前缀和技巧构造的 prefix 数组，我们先对 nums 数组构造一个 diff 差分数组，diff[i] 就是 nums[i] 和 nums[i-1] 之差：

int[] diff = new int[nums.length];
// 构造差分数组
diff[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
    diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];
}

通过这个 diff 差分数组是可以反推出原始数组 nums 的，代码逻辑如下：

int[] res = new int[diff.length];
// 根据差分数组构造结果数组
res[0] = diff[0];
for (int i = 1; i < diff.length; i++) {
    res[i] = res[i - 1] + diff[i];
}

这样构造差分数组 diff，就可以快速进行区间增减的操作，如果你想对区间 nums[i..j] 的元素全部加 3，那么只需要让 diff[i] += 3，然后再让 diff[j+1] -= 3 即可：

原理很简单，回想 diff 数组反推 nums 数组的过程，diff[i] += 3 意味着给 nums[i..] 所有的元素都加了 3，然后 diff[j+1] -= 3 又意味着对于 nums[j+1..] 所有元素再减 3，那综合起来，是不是就是对 nums[i..j] 中的所有元素都加 3 了？

只要花费 O(1) 的时间修改 diff 数组，就相当于给 nums 的整个区间做了修改。多次修改 diff，然后通过 diff 数组反推，即可得到 nums 修改后的结果。

现在我们把差分数组抽象成一个类，包含 increment 方法和 result 方法：

// 差分数组工具类
class Difference {
    // 差分数组
    private int[] diff;
    
    /* 输入一个初始数组，区间操作将在这个数组上进行 */
    public Difference(int[] nums) {
        assert nums.length > 0;
        diff = new int[nums.length];
        // 根据初始数组构造差分数组
        diff[0] = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            diff[i] = nums[i] - nums[i - 1];
        }
    }

    /* 给闭区间 [i,j] 增加 val（可以是负数）*/
    public void increment(int i, int j, int val) {
        diff[i] += val;
        if (j + 1 < diff.length) {
            diff[j + 1] -= val;
        }
    }

    /* 返回结果数组 */
    public int[] result() {
        int[] res = new int[diff.length];
        // 根据差分数组构造结果数组
        res[0] = diff[0];
        for (int i = 1; i < diff.length; i++) {
            res[i] = res[i - 1] + diff[i];
        }
        return res;
    }
}

这里注意一下 increment 方法中的 if 语句：

public void increment(int i, int j, int val) {
    diff[i] += val;
    if (j + 1 < diff.length) {
        diff[j + 1] -= val;
    }
}

当 j+1 >= diff.length 时，说明是对 nums[i] 及以后的整个数组都进行修改，那么就不需要再给 diff 数组减 val 了。

实践： LeetCode 370, 1109, 1094