410. Split Array Largest Sum (H)

https://leetcode.com/problems/split-array-largest-sum/

Given an array nums which consists of non-negative integers and an integer m, you can split the array into m non-empty continuous subarrays.

Write an algorithm to minimize the largest sum among these m subarrays.

Example 1:

Input: nums = [7,2,5,10,8], m = 2
Output: 18
Explanation:
There are four ways to split nums into two subarrays.
The best way is to split it into [7,2,5] and [10,8],
where the largest sum among the two subarrays is only 18.

Example 2:

Input: nums = [1,2,3,4,5], m = 2
Output: 9

Example 3:

Input: nums = [1,4,4], m = 3
Output: 4

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 1000

• 0 <= nums[i] <= 106

• 1 <= m <= min(50, nums.length)

Solution:

这个题目有点类似前文一道经典动态规划题目 高楼扔鸡蛋，题目比较绕，又是最大值又是最小值的。

简单说，给你输入一个数组 nums 和数字 m，你要把 nums 分割成 m 个子数组。

肯定有不止一种分割方法，每种分割方法都会把 nums 分成 m 个子数组，这 m 个子数组中肯定有一个和最大的子数组对吧。

我们想要找一个分割方法，该方法分割出的最大子数组和是所有方法中最大子数组和最小的。

请你的算法返回这个分割方法对应的最大子数组和。

我滴妈呀，这个题目看了就觉得 Hard，完全没思路，这题怎么能和二分查找算法扯上关系？

说个小插曲，快手面试有一道画师画画的算法题，很难，就是以这道题为原型。当时我没做过这道力扣题，面试有点懵，不过之前文章 二分查找算法运用 写了两道类似的比较简单的题目，外加面试官的提示，把那道题做出来了。

面试做算法题的时候，题目一般都会要求算法的时间复杂度，如果你发现 O(NlogN) 这样存在对数的复杂度，一般都要往二分查找的方向上靠，这也算是个小套路。

言归正传，如何解决这道数组分割的问题？

首先，一个拍脑袋的思路就是用 回溯算法框架 暴力穷举呗，我简单说下思路：

你不是要我把 nums 分割成 m 个子数组，然后计算巴拉巴拉又是最大又是最小的那个最值吗？那我把所有分割方案都穷举出来，那个最值肯定可以算出来对吧？

怎么穷举呢？把 nums 分割成 m 个子数组，相当于在 len(nums) 个元素的序列中切 m - 1 刀，对于每两个元素之间的间隙，我们都有两种「选择」，切一刀，或者不切。

你看，这不就是标准的回溯暴力穷举思路嘛，我们根据穷举结果去计算每种方案的最大子数组和，肯定可以算出答案。

但是回溯的缺点就是复杂度很高，我们刚才说的思路其实就是「组合」嘛，时间复杂度就是组合公式：

时间复杂度其实是非常高的，所以回溯算法不是一个好的思路，还是得上二分查找技巧，反向思考这道题。

现在题目是固定了 m 的值，让我们确定一个最大子数组和；所谓反向思考就是说，我们可以反过来，限制一个最大子数组和 max，来反推最大子数组和为 max 时，至少可以将 nums 分割成几个子数组。

比如说我们可以写这样一个 split 函数：

// 在每个子数组和不超过 max 的条件下，
// 计算 nums 至少可以分割成几个子数组
int split(int[] nums, int max);

比如说 nums = [7,2,5,10]，若限制 max = 10，则 split 函数返回 3，即 nums 数组最少能分割成三个子数组，分别是 [7,2],[5],[10]。

那如果我们找到一个最小 max 值，满足 split(nums, max) 和 m 相等，那么这个 max 值不就是符合题意的「最小的最大子数组和」吗？

现在就简单了，我们只要对 max 进行穷举就行，那么最大子数组和 max 的取值范围是什么呢？

显然，子数组至少包含一个元素，至多包含整个数组，所以「最大」子数组和的取值范围就是闭区间 [max(nums), sum(nums)]，也就是最大元素值到整个数组和之间。

那么，我们就可以写出如下代码：

/* 主函数，计算最大子数组和 */
int splitArray(int[] nums, int m) {
    int lo = getMax(nums), hi = getSum(nums);
    for (int max = lo; max <= hi; max++) {
        // 如果最大子数组和是 max，
        // 至少可以把 nums 分割成 n 个子数组
        int n = split(nums, max);
        // 为什么是 <= 不是 == ？
        if (n <= m) {
            return max;
        }
    }
    
    return -1;
}

/* 辅助函数，若限制最大子数组和为 max，
计算 nums 至少可以被分割成几个子数组 */
int split(int[] nums, int max) {
    // 至少可以分割的子数组数量
    int count = 1;
    // 记录每个子数组的元素和
    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (sum + nums[i] > max) {
            // 如果当前子数组和大于 max 限制
            // 则这个子数组不能再添加元素了
            count++;
            sum = nums[i];
        } else {
            // 当前子数组和还没达到 max 限制
            // 还可以添加元素
            sum += nums[i];
        }
    }
    return count;
}

// 计算数组中的最大值
int getMax(int[] nums) {
    int res = 0;
    for (int n : nums)
        res = Math.max(n, res);
    return res;
}

// 计算数组元素和
int getSum(int[] nums) {
    int res = 0;
    for (int n : nums)
        res += n;
    return res;
}

这段代码有两个关键问题：

1、对 max 变量的穷举是从 lo 到 hi 即从小到大的。

这是因为我们求的是「最大子数组和」的「最小值」，且 split 函数的返回值有单调性，所以从小到大遍历，第一个满足条件的值就是「最小值」。

2、函数返回的条件是 n <= m，而不是 n == m。按照之前的思路，应该 n == m 才对吧？

其实，split 函数采用了贪心的策略，计算的是 max 限制下至少能够将 nums 分割成几个子数组。

举个例子，输入 nums = [2,1,1], m = 3，显然分割方法只有一种，即每个元素都认为是一个子数组，最大子数组和为 2。

但是，我们的算法会在区间 [2,4] 穷举 max，当 max = 2 时，split 会算出 nums 至少可以被分割成 n = 2 个子数组 [2] 和 [1,1]。

当 max = 3 时算出 n = 2，当 max = 4 时算出 n = 1，显然都是小于 m = 3 的。

所以我们不能用 n == m 而必须用 n <= m 来找到答案，因为如果你能把 nums 分割成 2 个子数组（[2],[1,1]），那么肯定也可以分割成 3 个子数组（[2],[1],[1]）。

好了，现在 for 循环的暴力算法已经写完了，但是无法通过力扣的判题系统，会超时。

由于 split 是单调函数，且符合二分查找技巧进行优化的标志，所以可以试图改造成二分查找。

那么应该使用搜索左侧边界的二分查找，还是搜索右侧边界的二分查找呢？这个还是要看我们的算法逻辑：

int lo = getMax(nums), hi = getSum(nums);
for (int max = lo; max <= hi; max++) {
    int n = split(nums, max);
    if (n <= m) {
        return max;
    }
}

可能存在多个 max 使得 split(nums, max) 算出相同的 n，因为我们的算法会返回最小的那个 max，所以应该使用搜索左侧边界的二分查找算法。

现在，问题变为：在闭区间 [lo, hi] 中搜索一个最小的 max，使得 split(nums, max) 恰好等于 m。

那么，我们就可以直接套用搜索左侧边界的二分搜索框架改写代码：

int splitArray(int[] nums, int m) {
    // 一般搜索区间是左闭右开的，所以 hi 要额外加一
    int lo = getMax(nums), hi = getSum(nums) + 1;
    while (lo < hi) {
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        // 根据分割子数组的个数收缩搜索区间
        int n = split(nums, mid);
        if (n == m) {
            // 收缩右边界，达到搜索左边界的目的
            hi = mid;
        } else if (n < m) {
            // 最大子数组和上限高了，减小一些
            hi = mid;
        } else if (n > m) {
            // 最大子数组和上限低了，增加一些
            lo = mid + 1;
        }
    }
    return lo;
}

int split(int[] nums, int max) {/* 见上文 */}
int getMax(int[] nums) {/* 见上文 */}
int getSum(int[] nums) {/* 见上文 */}

Another Version:
class Solution {
    public int splitArray(int[] nums, int m) {
        
        int start = Integer.MIN_VALUE;
        int end = 0;
        for(int i = 0;i< nums.length; i++)
        {
            start = Math.max(start, nums[i]);
            end += nums[i];
        }
        while(start +1<end)
        {
            int mid = start+ (end-start)/2;
            if(split(nums,mid) <= m)
            {
                end = mid;
            }
            else
            {
                start = mid;
            }
        }
        
        if(split(nums, start) <= m) return start;
        if(split(nums, end) <= m)  return end;
        
        return -1;
        
    }
    
    // 在每个子数组和不超过 max 的条件下，
    // 计算 nums 至少可以分割成几个子数组
    public int split(int[] nums, int max)
    {
        int result = 1;
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i< nums.length; i++)
        {
            if(sum+nums[i] <= max)
            {
                sum += nums[i];
            }
            else
            {
                sum = nums[i];
                result++;
            }
        }
        return result;
    }
}

这段二分搜索的代码就是标准的搜索左侧边界的代码框架，如果不理解可以参见前文 二分查找框架详解，这里就不展开了。

至此，这道题就通过二分查找技巧高效解决了。假设 nums 元素个数为 N，元素和为 S，则 split 函数的复杂度为 O(N)，二分查找的复杂度为 O(logS)，所以算法的总时间复杂度为 O(N*logS)。