前缀和思路PrefixSum

https://labuladong.github.io/algo/2/20/53/

前缀和主要适用的场景是原始数组不会被修改的情况下，频繁查询某个区间的累加和。

LeetCode 303:

sumRange 函数需要计算并返回一个索引区间之内的元素和，没学过前缀和的人可能写出如下代码：

class NumArray {

    private int[] nums;

    public NumArray(int[] nums) {
        this.nums = nums;
    }
    
    public int sumRange(int left, int right) {
        int res = 0;
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            res += nums[i];
        }
        return res;
    }
}

这样，可以达到效果，但是效率很差，因为 sumRange 方法会被频繁调用，而它的时间复杂度是 O(N)，其中 N 代表 nums 数组的长度。

这道题的最优解法是使用前缀和技巧，将 sumRange 函数的时间复杂度降为 O(1)，说白了就是不要在 sumRange 里面用 for 循环，咋整？

直接看代码实现：

class NumArray {
    // 前缀和数组
    private int[] preSum;

    /* 输入一个数组，构造前缀和 */
    public NumArray(int[] nums) {
        // preSum[0] = 0，便于计算累加和
        preSum = new int[nums.length + 1];
        // 计算 nums 的累加和
        for (int i = 1; i < preSum.length; i++) {
            preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
        }
    }
    
    /* 查询闭区间 [left, right] 的累加和 */
    public int sumRange(int left, int right) {
        return preSum[right + 1] - preSum[left];
    }
}

核心思路是我们 new 一个新的数组 preSum 出来，preSum[i] 记录 nums[0..i-1] 的累加和，看图 10 = 3 + 5 + 2：

看这个 preSum 数组，如果我想求索引区间 [1, 4] 内的所有元素之和，就可以通过 preSum[5] - preSum[1] 得出。

这样，sumRange 函数仅仅需要做一次减法运算，避免了每次进行 for 循环调用，最坏时间复杂度为常数 O(1)。

这个技巧在生活中运用也挺广泛的，比方说，你们班上有若干同学，每个同学有一个期末考试的成绩（满分 100 分），那么请你实现一个 API，输入任意一个分数段，返回有多少同学的成绩在这个分数段内。

那么，你可以先通过计数排序的方式计算每个分数具体有多少个同学，然后利用前缀和技巧来实现分数段查询的 API：

int[] scores; // 存储着所有同学的分数
// 试卷满分 100 分
int[] count = new int[100 + 1]
// 记录每个分数有几个同学
for (int score : scores)
    count[score]++
// 构造前缀和
for (int i = 1; i < count.length; i++)
    count[i] = count[i] + count[i-1];

// 利用 count 这个前缀和数组进行分数段查询

接下来，我们看一看前缀和思路在实际算法题中可以如何运用. LeetCode 304